2011. 12. 14. 16:27
전자공학과가 배우는 것들/신호 및 시스템
지금까지 계속 푸리에 공식과 성질에 대해서만 공부했습니다. 그런데 다들 왜 이걸 해야하는지 궁금해하셨을 것이라고 생각합니다. 저도 신호 및 시스템이라는 과목을 배울 때 왜 F.T를 배우는지 어디에 써먹는지 모르고 그냥 외우기만 했습니다. 그런데 신호 및 시스템이라는 과목이 끝나갈 무렵 왜 배우는지 알겠더라구요.
우선 간단하게 언급하면 신호시스템은 이렇습니다. 우리는 신호시스템에서 두가지 축을 다룹니다. 하나는 시간 축이고, 다른 하나는 주파수 축입니다. 시간축으로 신호를 해석하면 어려움이 많이 따릅니다. 그래서 시간으로 정의된 함수를 주파수로 정의된 함수로 변환합니다. 이것이 F.T 푸리에 변환이죠. 푸리에 변환을 하면 주파수로 정의가 되며 우리는 그 주파수를 가지고 함수를 분석 혹은 해석합니다. 그리고 할 것을 다하면 다시 시간축으로 돌리지요. 밑에 그림을 보시면 알고리즘이있습니다. x(t)로 맨처음 들어가서 결국엔 화살표 따라가시다 보면 다시 x(t)로 나옵니다. 그 말은 x(t)를 주파수축에서 보고 다시 x(t)로 돌려놓는 작업입니다.
단계별로 1번부터 9번까지 순서가 매겨져있습니다. 이 순서대로 하나하나씩 따라가며 시간축, 주파수축으로 그래프를 그려보고 어떻게 변하는지 눈으로 확인해보는 시간을 가져봅시다. 아래 그림은 전체적인 알고리즘을 그려낸 것입니다.
아! 우리는 신호를 시간, 주파수로 나타낼 것입니다. 시간으로 나타냈을 때 어떻게 신호가 변화되는지는 대략적으로 눈으로 확인할 것이며, 주파수로 나타냈을 때는 신호의 최대값, 주기, 그리고 신호의 폭 이 세가지에 대해서 정확하게 나타내볼 것입니다.
우선 x(t)의 모양과 X(w)의 모양을 제가 임의로 정의하겠습니다. 즉 위 그림에서 1번의 모양이 되겠네요. 맨 처음 들어오는 신호로 보시면 됩니다.
위 그림에 초록색 동그라미1, 주황색 동그라미9 가있지요? 그것은 그 단계의 파형 모양이라는 얘기입니다. 저는 임의로 x(t)를 저렇게 언덕모양으로 정의를 했습니다. 그것을 F.T했을 때 주파수에서의 신호 모양은 저렇게 삼각파로 정의했습니다. 삼각파의 폭은 2wc, 최대값은 1이며 비주기 신호입니다.
이 x(t)가 임펄스 트레인 신호와 곱해지게 됩니다. 그러면 xp(t) 함수가 나오게 됩니다. 이 작업을 Sampling(샘플링)이라고 합니다. 한번 파형을 눈으로 확인해봅시다.
이렇게 sampling된 신호를 F.T하면 어떻게 될까요? 최대값은 1*(1/T)=1/T가 됩니다. 폭은 그대로 2wc를 유지합니다. 그리고 주기함수가 됩니다. 주기는 2파이/T가 됩니다.
제가 강조하고 싶은 것은 Sampling 작업을 하면 최대값과 주기는 변하고, 폭은 변하지 않는다는 것입니다. 뒤에 또 나오니 숙지하시길 바랍니다.
이제 xp(t), 즉 샘플링된 신호가 Samples to Sequence가 됩니다. 영어의 의미는 "샘플을 수열화"라는 뜻 입니다. 이 samples to Sequence 작업을 거치면 xp(t)는 xd[n]이 됩니다. n은 자연수입니다.
2번 그림과 뭐가 다르냐고 생각하시는 분들은 함수의 축을 살펴보시길 바랍니다. t에서 n으로 바뀌었습니다. 그 말은 시간에서 수열로 바뀌었다라는 뜻이 됩니다. xd[n]을 잘 살펴보시면 막대기 사이의 폭이 달라졌음을 알게 됩니다. 막대기 사이의 폭이 넓어지면 주파수축에서는 주기가 짧아지고, 막대기 사이의 폭이 좁아지면 주파수축에서는 주기가 길어집니다.
이제 xd[n]을 discrete-time F.T를 하면 어떻게 되는지 봅시다. 일단 신호의 최대값은 1/T로 변하지 않습니다. 아까 얘기한듯이 주기가 변합니다. 주기는 2파이가 됩니다.(모든 discrete-time F.T는 주기가 2파이입니다.) 폭은 변화가 생깁니다. 기존의 2wc에서 2wcT로 변한 것을 확인할 수 있습니다.
3번 신호가 zero-insertion이 되면서 4번 신호로 바뀝니다. 아까 1번신호가 2번신호로 넘어갈 때 sampling이라고 그랬습니다. 이것도 sampling입니다. 다만 아까는 시간축에서 sampling이 되었고, 이번에는 n에 대해서 sampling이 된 것입니다. 당연히 간격은 넓어지는 것이기 때문에 주파수축에서 바라봤을 때 주기는 짧아집니다.
Sampling하면 최대값이 바뀌는것 기억나시나요? 여기도 Sampling이기 때문에 최대값이 바뀝니다. 기존 1/T에 1/N을 곱해 1/NT가 됩니다. 주기는 기존의 2파이에서 더 짧아져 2파이/N이 됩니다. Sampling 작업시 폭은 변하지 않습니다. 즉, 그대로 2wcT의 폭을 유지합니다.
4번신호가 5번신호로 될려면 Down-Sampling을 거치게 됩니다. Down-Sampling은 4번 그림에서 0이 된 자리에 신호를 앞에서 매꿔오는 것입니다. 참 말로 설명하기 거시기한데 그림을 보시면 제 말이 무슨 뜻인지 아시게 될 것입니다. 적당한 말을 댓글로 알려주시면 시정하겠습니다!
0이 었던자리에 다른 신호를 땡겨왔기 때문에 신호의 폭은 좁아집니다. 그러면 주파수로 보면 주기가 늘어나는 꼴이 됩니다. 주기는 2파이이며, 폭은 2wcTN으로 됩니다. 최대값은 그대로 유지되어 1/NT가 됩니다.
그 다음작업이 Processing 및 Communicating입니다. 이 말은 신호가지고 할 것을 한다라는 얘기입니다. 그 다음 신호를 x(t)로 다시 바꾸어내는 작업을 합니다. 이 것은 지금까지 제가 작성한 것을 거꾸로 올라가시면 됩니다.
이렇게 해서 신호 및 시스템의 포스팅을 일단 마치도록 하겠습니다. 아직 Discrete-time에 대한 F.T를 다루지 않았습니다. Continuous-time과 굉장히 유사하기 때문에 안 했는데 시간이 나면 다루어 보도록 하겠습니다.
지금까지 신호 및 시스템에 관심을 가져주신 여러분께 감사드리며 신호 및 시스템 이론은 여기서 끝을 내도록 하겠습니다.
읽으신 분들은 View버튼정도는 눌러주세요ㅠ0ㅠ 댓글까지는 기대 안합니다.. ㄷㄷ
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