2011. 12. 10. 23:15
전자공학과가 배우는 것들/신호 및 시스템
전 시간에 푸리에 급수를 다루었습니다. 이번에는 푸리에 변환을 다루어볼까 합니다. 푸리에 급수는 주기함수를 다룹니다. 하지만 푸리에 변환은 비주기 함수를 다룰 수 있다는 점에서 큰 차이를 보입니다. 정의식을 보면 차이점이 어떤지 쉽게 알 수 있을 것입니다.
수식을 작성하기 어려워서 그냥 공책에 쓰고 스캔해서 올렸습니다. 글씨 이쁘지요^^?... 적어도 알아볼 수는 있을 것입니다.. ㅋㅋ
어쨋든 위의 사진이 정의입니다. 푸리에 급수와 매우 유사함을 알 수 있습니다. 시그마 대신에 적분기호 인테그랄을, 범위가 -무한대에서 +무한대로 확장 된 것을 볼 수 있습니다. 나머지는 푸리에 급수와 동일합니다.
푸리에 변환과 푸리에 역변환을 잘 외우시길 바랍니다. 이 것을 가지고 여러가지 성질을 차례 차례 증명해보고자 합니다.
성질 바로 가볼까요?? 너무 많은 관계로 나누어서 글을 올리겠습니다.
1. 1을 Fourier Transform(줄여서 F.T로 하겠습니다 앞으로) 하면 2파이 델타(w)가 됩니다.
이걸 증명하기 앞서서 위의 사진 북동쪽을 보면 그래프가 있습니다. 1을 지수함수로 표현해 본 것입니다. 수1정도의 실력이면 좀 생각해보면 이해하실 수 있을 것입니다. 그래서 t<0일때와 t>0일 때를 나누어서 F.T를 합니다. 푸리에 변환 정의식에 대입하고 적분계산을 하면 C델타(w)가 나옵니다. 나중에 이 C란 상수를 구해볼 것입니다. 여기선 C라고 보류합시다.
2. x(t)y(t)를 F.T해보도록 합시다.
1. x(t)y(t)를 F.T식에 대입합니다.
2. x(t),y(t)를 각자 퓨리에 역변환을 합니다.
3. 적분순서를 교환합니다.
4. 계산하면 컨볼루션이 나옵니다.
결과: 시간에서의 함수의 곱은 주파수에서는 {C/(2파이^2)}X(jw)*Y(jw)로 나타난다. 여기서도 C가 나옵니다. C가 과연 무엇일까요??
3. 드디어 C를 구해봅시다. C는 위의 두 성질을 연립해서 구합니다.
1. 1= 1곱하기 1임을 이용하여 구합니다.
2. 양변을 F.T를 합니다. 좌변은 당연히 C델타(w)가 나올것이고, 우변은 위의 사진을 천천히 따라가 보면 {C^3/(2파이)^2}델타(w)가 됩니다.
3. 두 식을 정리하면 C=2파이 가 나오게 됩니다.
4. 델타(t)를 F.T하면 1이 나옵니다.
딱히 설명할게 없네요. F.T식에 대입하고 t=0을 대입해서 계산하시면 됩니다. 이정도는 그냥 외우시는게 간단하겠네요.
5. x(t-to)를 F.T하도록 하겠습니다. 푸리에 급수랑 성질이 유사합니다.
1. x(t-to)를 푸리에 변환 정의식에 대입합니다.
2. 여기서 약간 기술이 들어갑니다. t-to=s로 치환합니다. 그러면 ds=dt, t=s+to가 성립합니다. 그렇게 변환하고 대입합니다.
3. 적분변수가 s이므로 to는 상수취급을 해서 적분기호 밖으로 뺴냅니다.
4. 결과적으로 e^(-jwto)X(jw)가 유도됩니다.
결론: 시간에서 오른쪽으로 평행이동하면 주파수에선 마이너스 위상이 곱해진다!
6. sgn(t)를 F.T해봅시다. sgn(t)를 모르시는 분은 밑에 사진 북동쪽 참고
1. 맨 처음 성질 1을 F.T를 한것을 떠올리세요. t>0인 부분은 동일하고 t<0인 부분은 부호만 달리하면 됩니다.
2. 푸리에 변환 정의식에 대입합니다. 복잡한 적분을 계산합니다.
3. 극한값 계산과, 유리화를 하면 2/(jw)가 유도됩니다.
7. u(t) 단위계단 함수를 F.T해봅시다.
사실 7번을 F.T하기 위해 6번 성질을 증명한 것입니다.
1. u(t)를 sgn(t)로 표현하면 (1/2)sgn(t)+1/2 로 나타낼 수 있습니다. 그래프로 한번 그려보시길
2. (1/2)sgn(t)+1/2 를 F.T 식에 넣고 계산을 합니다.
3. F.T는 덧셈에 대해서 분배가 됩니다.
4. 계산하고 나면 1/(jw)+ (파이)델타(w)가 됩니다.
8. 스킵~
9. 적분식을 F.T해봅시다.
필기를 잘했으므로 설명 빼겠습니다. 적분을 글로 설명하려니 힘드네요.
마지막이라서 귀찮아 안쓴 것 아닙니다^^~!
나머지 성질은 다음글에 몽땅 다루도록 하겠습니다.
읽으신분은 추천! 댓글도 부탁드려요 ㅠㅠ
감사합니다.
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