2011. 12. 2. 23:49
전자공학과가 배우는 것들/신호 및 시스템
이번에 퓨리에 급수 성질 5개를 증명해보는 시간을 갖도록 하겠습니다. 다시 한번 강조하지만 퓨리에 급수는 비주기함수일 때 적용하며, 주기함수는 퓨리에 변환을 이용합니다.
이번에 5개를 증명할텐데 Timescaling, Periodic convolution, Multiplication, Differentiation, Integration을 증명할 것이다. 식 옆에 숫자를 적어놓았다. 더 이해하기 쉬울 것이라고 생각한다.
이제 시작해볼까요?
정의식입니다. 까먹었으면 확인!
6. Time Scaling
일단 이것 증명하기전에 x(at)를 살펴보아야합니다. x(t)와 다른점은 t앞에 계수 a가 붙은 것인데 이것은 함수가 축소되었다는 뜻입니다. 즉 주기가 T/a로 짧아진다는 것입니다. 그것을 감안해서 정의식에 시을 대입합니다.
1. 정의식을 식에 대입합니다.
2. at=s로치환합니다. 그러면 t=s/a가 되며 dt=ds/a가 됩니다. 그것을 대입합니다. 즉 at대신 s, t대신 s/a, dt대신 ds/a를 대입합니다.
3. 정의식인데 t대신 s로 표현된 것에 불과하므로 그대로 ak가 유도되는 것입니다.
결론: 시간축에서의 압축된 함수의 퓨리엣 급수는 주파수에 영향을 미치지 않는다! (ak그대로니깐)
7. Periodic Convolution
1. convolution식을 정의식에 대입합니다.
2. 자세히보시면 적분순서가 바뀌어있습니다. 괄호부분은 전에 퓨리에급수 성질에서 증명했던 시간축으로 평행이동했을때의 공식입니다. 오른쪽으로 평행이동할시 마이너스 위상이 생깁니다. 즉 e^-jwokt bk가 됩니다.
3. 그래서 3번식이 유도가 됩니다.
4. T * (1/T)를 퓨리에급수 형태로 만들기위해 일부러 만듭니다. 그러면 T와 bk 사이의 식이 ak로 변합니다.
5. 그래서 Takbk가 유도됩니다.
결론: Periodic convolution을 퓨리에 급수화하면 주기 T에 ak와 bk를 곱한 것과 같습니다!
8. Multiplication
1. 정의식에 x(t)*y(t)식을 대입합니다.
2. x(t),y(t)를 퓨리에 급수화합니다.
3. e를 정리하면 3번식처럼 e^(jwo(m+l-k)t)가 나옵니다.
4. 유도끝
9. Differentiation
1. dx(t)/dt를 정의식에 대입합니다.
2. 그다음 부분적분을 합니다. 그러면 2번식이 나옵니다. 부분적분은 설명 따로 안 하겠습니다. 기억이 안 나시면 고등학교 수학보시면 나옵니다^^
3. 결과가 jwokak가 유도됩니다.
결론: 미분식을 퓨리에 급수로 표현하면 jwok가 곱해집니다.
10. Integration
위의 미분식과 증명이 같습니다.
1. 적분식을 정의에 대입합니다.
2. 부분적분을합니다.
3. 결과가 유도됩니다.
결론: 적분식을 퓨리에 급수로 표현하면 1/(jwok)가 곱해집니다.
아직 급수의 성질이 조금 더 남아있습니다. 일단 여기서 포스팅을 마치도록 하겠습니다.
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