2011. 11. 28. 00:54
전자공학과가 배우는 것들/신호 및 시스템
신호 시스템에서 매우 중요한 도구 퓨리에 급수를 다루고자 합니다. 전자공학도들은 "주파수"란 개념을 다루게 됩니다. "주파수"는 매우 중요한 개념이고 퓨리엣 급수를 익히면 주파수에 대해서 이해가 깊어집니다. 퓨리엣 급수는 시간(t)에서 주파수(w 혹은 f)로 변환하는 것을 의미합니다. 퓨리에 급수의 의의는 그 어떤 주기 신호도 코사인과 사인함수의 합으로 표현할 수 있다는 것입니다.
말로는 이해가 안 가니 아래 사진을 봅시다. 디지털공학에서 배우는 블록파를 사인과 코사인으로 표현해 볼 것입니다. 제가 가지고 있는 책을 폰으로 찍은 것입니다. N은 삼각함수의 갯수를 의미합니다. N=1일때, N=3일때, N=7일때, N=19일때, N=79일때 그 때마다의 파형이 바로 이 그림입니다. N이 커질수록 원래 블록파의 모양에 가까워짐을 볼 수 있습니다. N을 무한히 키운다면?? 거의 원래의 파형에 근사시킬 수 있겠지요?
이렇게 퓨리에 급수는 주기함수를 사인함수와 코사인함수의 합으로 나타낼 수 있습니다. 그만큼 전자공학도에게 있어서 꼭 필요한 도구입니다. 항상 정의를 제대로 알아두고 가실 필요가 있습니다. 퓨리에 급수의 정의입니다.
위의 사진을 보고 코사인과 사인함수가 어디갔냐고 궁금증을 느끼시는 분들은 반드시 오일러공식을 공부하고 보시길 바랍니다. 그러면 이해가실겁니다^^. x(t)와 y(t)는 수열의 합으로 표현되며 이때 생기는 e앞에 생기는 계수 ak,bk를 적분을 통해 구하는 것입니다. 계산은 솔직히 지저분합니다.
이것을 다 익혔다는 가정하에 이제부터 퓨리에 급수의 성질을 하나둘씩 알아보고 증명해보도록 하겠습니다.
증명설명: Ax(t)+By(t)를 퓨리에 급수 정의식에 대입을 한다. 적분은 덧셈에 대해서 분배법칙이 성립하고 적분상수 t와 무관한 수들은 앞으로 빼낼 수 있다. 즉 A,B가 적분 밖으로 나올 수 있다. 따라서 Aak+Bbk가 성립하게 된다.
증명설명: x(t-to)를 퓨리에 급수 정의식에 대입을 한다. 이과정에서 약간의 스킬이 필요하다. 정의식의 형태를 맞추기 위해 t-to=s로 설정한다. 양변을 미분하면 dt=ds가 된다. 즉 t-to는 s로, t는 s+to로, dt는 ds로 변한다. s를 변수로 두는 것이다. 그러면 e^(-jwokto)는 s에 무관해 상수 취급을 하여 적분기호 밖으로 나올 수 있다. 중요한 것은 시간이 오른쪽으로 이동하면 마이너스 위상이 생긴다는 것이다!
증명설명: e^(jwoMt)x(t)를 퓨리에 급수 정의식에 대입을 한다. 그리고 e^(jwoMt)*e^(-jwokt)를 곱하여 한꺼번에 e^(-jwo(k-M0t))로 표시한다. 그러면 마지막 결론이 도출된다. 중요한 것은 시간에 +위상이 곱해지면 주파수에서는 오른쪽으로 이동하는 결과가 나타난다.
증명설명: conjugation은 켤레복소수입니다. 설명하면 길어서 생략합니다.
증명설명: x(-t)를 퓨리에 급수 정의식에 대입을 합니다. 여기서 2번째 변수변환을 이용합니다. -t=s라고 놓읍시다. 양변을 미분하면 -dt=ds입니다. 즉, -t가 s로 변하고, -jwokt가 jwoks로 변합니다. 중요한 것은 시간축으로 time reverse가 되면 주파수 축으로도 reverse가 된다는 것을 기억합시다.
오늘은 여기까지 퓨리에급수 정의와 성질을 정리하도록 하겠습니다.
도움이 되셨을지 모르겠지만 추천과 댓글 부탁드려요 ㅠㅠ
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